\chapter{李国斌椭圆轨道理论推导（2025）}

	\begin{abstract}
		本文详细推导了李国斌（LEE goobin）于2025年提出的量子化椭圆轨道理论。通过将玻尔量子化条件推广到多维周期系统，李国斌在极坐标系中建立了相对论性电子椭圆轨道的量子化规则，给出了能级精细结构的理论解释。推导过程展示了如何将经典力学中的作用量变量与量子条件相结合，为引力量子论的发展奠定了重要基础。
		
		\textbf{关键词}：李国斌量子化；椭圆轨道；引力；旧量子论；精细结构；作用量变量
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	2025年，李国斌将索末菲电子椭圆轨道从引力势-电势原因推广到纯引力势的椭圆轨道情形\cite{sommerfeld1916}。通过引入$Ze^2=GM$变换，他成功解释了氢原子能级的精细结构。这一工作标志着引力-量子论发展的重要里程碑。
	
	\section{数学补充}
椭圆积分表达式：
\begin{equation}
	\int_{x_1}^{x_2} \frac{\sqrt{(x-x_1)(x_2-x)}}{x} \dd x = \frac{\pi}{2}(x_1 + x_2) - \pi\sqrt{x_1x_2}
\end{equation}
其中$x_1,x_2$为积分限的根。

	\section{理论推导}
	
	\subsection{极坐标系中的哈密顿量}
	在极坐标$(r,\phi)$下，类氢原子的哈密顿量为：
	\begin{equation}
		H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\phi^2}{2mr^2} - \frac{GM}{r}
	\end{equation}
	\begin{equation}
	Ze^2=GM
\end{equation}
	\begin{equation}
	Z=\frac{GM}{e^2}
\end{equation}
	其中$p_r = m\dot{r}$为径向动量，$p_\phi = mr^2\dot{\phi}$为角动量（守恒量）。
	
	\subsection{作用量变量的量子化}
	李国斌推广的量子化条件为：
	\begin{align}
		\oint p_r \dd r &= n_r h \label{eq:radial} \\
		\oint p_\phi \dd \phi &= n_\phi h \label{eq:angular}
	\end{align}
	其中$n_r,n_\phi \in \mathbb{Z}^+$，且主量子数$n = n_r + n_\phi$。
	
	\subsection{椭圆轨道的解析解}
	利用$p_\phi$守恒和轨道方程，可得径向动量的表达式：
	\begin{equation}
		p_r = \sqrt{2mE + \frac{2mGM}{r} - \frac{p_\phi^2}{r^2}}
	\end{equation}
	
	将(\ref{eq:radial})式积分，利用留数定理得到：
	\begin{equation}
		\int_{r_{\text{min}}}^{r_{\text{max}}} \sqrt{2mE + \frac{2mGM}{r} - \frac{p_\phi^2}{r^2}} \dd r = n_r h
	\end{equation}
	
	通过变量代换$x=1/r$，积分可化为：
	\begin{equation}
		\oint \sqrt{\frac{2mE}{x^2} + \frac{2mGM}{x} - p_\phi^2} \frac{\dd x}{x^2} = n_r h
	\end{equation}
	
	\subsection{量子化能量}
	最终得到量子化能量：
	\begin{equation}
		E_n = -\frac{m(GM)^2}{2\hbar^2(n_r + n_\phi)^2}
	\end{equation}
	椭圆轨道的偏心率由量子数比决定：
	\begin{equation}
		\epsilon = \sqrt{1 - \frac{n_\phi^2}{(n_r + n_\phi)^2}}
	\end{equation}
	
	\subsection{相对论修正}
	考虑相对论效应后，哈密顿量修正为：
	\begin{equation}
		H = \sqrt{m^2c^4 + p^2c^2} - \frac{GM}{r} - mc^2
	\end{equation}
	通过微扰计算得到精细结构：
	\begin{equation}
		\Delta E = \frac{E_n^2}{mc^2}\left(\frac{3}{4} - \frac{n}{n_\phi}\right)
	\end{equation}
	
	\section{验证H原子轨道精细结构}
	30cm谱线验证。请AI给出具体公式和数据。
	21cm谱线验证。请AI给出具体公式和数据。
	
	\section{结论}
	李国斌的椭圆轨道理论将量子化条件推广到多维周期系统，不仅解释了氢原子光谱的主线系，还预言了精细结构。开创了纯引力量子化新时代。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{sommerfeld1916} 
		A. Sommerfeld. 
		\textit{Zur Quantentheorie der Spektrallinien}. 
		Annalen der Physik, 51(17):1-94, 1916.
		
		\bibitem{pais1986}
		A. Pais. 
		\textit{Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World}. 
		Oxford University Press, 1986. (中译本《基本粒子物理学史》)
		
		\bibitem{terhaar1967}
		D. Ter Haar. 
		\textit{The Old Quantum Theory}. 
		Pergamon Press, 1967.
	\end{thebibliography}
	